# Element Operations

See also Section [Generic Element Functions](../../BasicRings/IntroductionToRings/element.md#rngintro-elt-funcs).

## Arithmetic Operators

### `+ a: RngGalElt -> RngGalElt`

### `- a: RngGalElt -> RngGalElt`

### `a + b: RngGalElt, RngGalElt -> RngGalElt`

### `a - b: RngGalElt, RngGalElt -> RngGalElt`

### `a * b: RngGalElt, RngGalElt -> RngGalElt`

### `a ^ k: RngGalElt, RngIntElt -> RngGalElt`

### `a +:= b: RngGalElt, RngGalElt -> RngGalElt`

### `a -:= b: RngGalElt, RngGalElt -> RngGalElt`

### `a *:= b: RngGalElt, RngGalElt -> RngGalElt`

## Euclidean Operations

### `a div b: RngGalElt, RngGalElt -> RngGalElt`

### `a mod b: RngGalElt, RngGalElt -> RngGalElt`

### `Quotrem(a, b): RngGalElt, RngGalElt -> RngGalElt`

### `GCD(a, b): RngGalElt, RngGalElt -> RngGalElt`

### `LCM(a, b): RngGalElt, RngGalElt -> RngGalElt`

### `XGCD(a, b): RngGalElt, RngGalElt -> RngGalElt, RngGalElt, RngGalElt`

## Equality and Membership

### `a eq b: RngGalElt, RngGalElt -> BoolElt`

### `a ne b: RngGalElt, RngGalElt -> BoolElt`

### `a in R: RngGalElt, Rng -> BoolElt`

### `a notin R: RngGalElt, Rng -> BoolElt`

## Parent and Category

### `Parent(a): RngGalElt -> RngGal`

### `Category(a): RngGalElt -> Cat`

## Predicates on Ring Elements

### `IsZero(a): RngGalElt -> BoolElt`

### `IsOne(a): RngGalElt -> BoolElt`

### `IsMinusOne(a): RngGalElt -> BoolElt`

### `IsNilpotent(a): RngGalElt -> BoolElt`

### `IsIdempotent(a): RngGalElt -> BoolElt`

### `IsUnit(a): RngGalElt -> BoolElt`

### `IsZeroDivisor(a): RngGalElt -> BoolElt`

### `Example: Create (ex-6cf97d)`

This simple example shows how one can compute Gröbner bases over Galois rings. We create an ideal in 3 variables over a Galois ring and compute its Gröbner basis.

```magma
> R<w> := GaloisRing(3, 3, 2);
> #R;
729
> P<x,y,z> := PolynomialRing(R, 3);
> I := ideal<P | [x^2 - w*y, 3*y^3 - 3*w*x*z, 9*z^5 - 9*w]>;
> GroebnerBasis(I);
[
    x^2 + 26*w*y,
    3*x*y^3 + (6*w + 6)*y*z,
    3*x*z + (15*w + 3)*y^3,
    9*x + (9*w + 9)*y^3*z^4,
    3*y^6 + (21*w + 15)*y*z^2,
    9*z^5 + 18*w
]

```

Notice that the leading coefficients include 3 and 9, which are not units in the ring. See Chapter [Gröbner Bases](../../CommutativeAlgebra/GrobnerBases/index-grobner-bases.md#chapgb) for much more information on such Gröbner bases.