Galois Rings

• Introduction
• Creation Functions
  • Creation of Structures
    • GaloisRing(q, d): RngIntElt, RngIntElt → RngGal
    • GR(q, d): RngIntElt, RngIntElt → RngGal
    • GaloisRing(p, a, d): RngIntElt, RngIntElt, RngIntElt → RngGal
    • GR(p, a, d): RngIntElt, RngIntElt, RngIntElt → RngGal
    • GaloisRing(q, D): RngIntElt, RngUPol → RngGal
    • GR(q, D): RngIntElt, RngUPol → RngGal
    • GaloisRing(p, a, D): RngIntElt, RngIntElt, RngUPol → RngGal
    • GR(p, a, D): RngIntElt, RngIntElt, RngUPol → RngGal
  • Names
    • AssignNames(~R, [f]): RngGal, [ MonStgElt ]
    • Name(R, 1): RngGal, RngIntElt → RngGalElt
  • Creation of Elements
    • R . 1: RngGal → RngGalElt
    • Generator(R): RngGal → RngGalElt
    • R ! a: RngGal, RngElt → RngGalElt
    • One(R): RngGal → RngGalElt
    • Identity(R): RngGal → RngGalElt
    • Zero(R): RngGal → RngGalElt
    • Representative(R): RngGal → RngGalElt
    • Random(R): RngGal → RngGalElt
  • Sequence Conversions
    • ElementToSequence(a): RngGalElt → [ RngIntResElt ]
    • Eltseq(a): RngGalElt → [ RngIntResElt ]
    • Example: Defining a Galois Ring
• Structure Operations
  • Related Structures
    • Category(R): RngGal → Cat
    • Parent(R): RngGal → PowerStructure
    • Centre(R): RngGal → RngGal
    • PrimeRing(R): RngGal → RngGal
    • PrimeField(R): RngGal → RngGal
    • FieldOfFractions(R): RngGal → RngGal
  • Numerical Invariants
    • Characteristic(R): RngGal → RngIntElt
    • # R: RngGal → RngIntElt
    • Degree(R): RngGal → RngIntElt
    • ResidueField(R): RngGal → FldFin
  • Ring Predicates and Booleans
    • IsCommutative(R): RngGal → BoolElt
    • IsUnitary(R): RngGal → BoolElt
    • IsFinite(R): RngGal → BoolElt
    • IsOrdered(R): RngGal → BoolElt
    • IsField(R): RngGal → BoolElt
    • IsEuclideanDomain(R): RngGal → BoolElt
    • IsPID(R): RngGal → BoolElt
    • IsUFD(R): RngGal → BoolElt
    • IsDivisionRing(R): RngGal → BoolElt
    • IsEuclideanRing(R): RngGal → BoolElt
    • IsPrincipalIdealRing(R): RngGal → BoolElt
    • IsDomain(R): RngGal → BoolElt
    • R eq G: RngGal, Rng → BoolElt
    • R ne G: RngGal, Rng → BoolElt
• Element Operations
  • Arithmetic Operators
    • + a: RngGalElt → RngGalElt
    • - a: RngGalElt → RngGalElt
    • a + b: RngGalElt, RngGalElt → RngGalElt
    • a - b: RngGalElt, RngGalElt → RngGalElt
    • a * b: RngGalElt, RngGalElt → RngGalElt
    • a ^ k: RngGalElt, RngIntElt → RngGalElt
    • a +:= b: RngGalElt, RngGalElt → RngGalElt
    • a -:= b: RngGalElt, RngGalElt → RngGalElt
    • a *:= b: RngGalElt, RngGalElt → RngGalElt
  • Euclidean Operations
    • a div b: RngGalElt, RngGalElt → RngGalElt
    • a mod b: RngGalElt, RngGalElt → RngGalElt
    • Quotrem(a, b): RngGalElt, RngGalElt → RngGalElt
    • GCD(a, b): RngGalElt, RngGalElt → RngGalElt
    • LCM(a, b): RngGalElt, RngGalElt → RngGalElt
    • XGCD(a, b): RngGalElt, RngGalElt → RngGalElt, RngGalElt, RngGalElt
  • Equality and Membership
    • a eq b: RngGalElt, RngGalElt → BoolElt
    • a ne b: RngGalElt, RngGalElt → BoolElt
    • a in R: RngGalElt, Rng → BoolElt
    • a notin R: RngGalElt, Rng → BoolElt
  • Parent and Category
    • Parent(a): RngGalElt → RngGal
    • Category(a): RngGalElt → Cat
  • Predicates on Ring Elements
    • IsZero(a): RngGalElt → BoolElt
    • IsOne(a): RngGalElt → BoolElt
    • IsMinusOne(a): RngGalElt → BoolElt
    • IsNilpotent(a): RngGalElt → BoolElt
    • IsIdempotent(a): RngGalElt → BoolElt
    • IsUnit(a): RngGalElt → BoolElt
    • IsZeroDivisor(a): RngGalElt → BoolElt
    • Example: Groebner Bases over Galois Rings